Generalized Dyck tilings (Extended Abstract)

Recently, Kenyon and Wilson introduced Dyck tilings, which are certain tilings of the region between two Dyck paths. The enumeration of Dyck tilings is related with hook formulas for forests and the combinatorics of Hermite polynomials. The first goal of this work is to give an alternative point of view on Dyck tilings by making use of the weak order and the Bruhat order on permutations. Then we introduce two natural generalizations: k-Dyck tilings and symmetric Dyck tilings. We are led to consider Stirling permutations, and define an analogue of the Bruhat order on them. We show that certain families of k-Dyck tilings are in bijection with intervals in this order. We enumerate symmetric Dyck tilings and show that certain families of symmetric Dyck tilings are in bijection with intervals in the weak order on signed permutations. Résumé. Récemment, Kenyon et Wilson ont introduit les pavages de Dyck, qui sont des pavages de la région comprise entre deux chemins de Dyck. L’énumération des pavages de Dyck est reliée aux formules d’équerre sur les forêts et à la combinatoire des polynômes de Hermite. Le premier but de ce travail est de donner un point de vue alternatif sur les pavages de Dyck, en utilisant l’ordre faible et l’ordre de Bruhat sur les permutations. Nous introduisons ensuite deux généralisations naturelles: les k-pavages de Dyck et les pavages de Dyck symétriques. Nous sommes amenés à considérer les permutations de Stirling, et définissons un analogue de l’ordre de Bruhat. Nous montrons que certaines familles de k-pavages de Dyck sont en bijection avec des intervalles de cet ordre. Nous énumérons les pavages de Dyck symétriques et montrons que certaines familles de pavages de Dyck symétriques sont en bijection avec des intervalles de l’ordre faible sur les permutations signées.